מכונת רמנג'ואן

חוקרים בטכניון פיתחו "מחולל השערות" המייצר השערות מתמטיות, והפיקו באמצעותו כמה השערות שחלקן לא היו ידועות עד כה. את המחקר שהתפרסם בכתב העת Nature ערכו סטודנטים לתואר ראשון מפקולטות שונות בהנחיית ד"ר עדו קמינר מהפקולטה להנדסת חשמל ע"ש ויטרבי.

המחקר עוסק באחד מהרעיונות היסודיים ביותר במתמטיקה – קבועים מתמטיים. קבוע מתמטי הוא מספר שמופיע באופן טבעי בפיתוחים מתמטיים וערכו אינו משתנה. לקבועים מתמטיים רבים יש ערך עצום במתמטיקה אבל גם בתחומים חיצוניים למתמטיקה ובהם ביולוגיה, פיזיקה, ואקולוגיה.

 

יחס הזהב וקבוע אוילר הם דוגמאות לקבועים יסודיים כאלה. פאי, קבוע מפורסם במיוחד, נחקר עוד בימי קדם בהקשר של היקף המעגל, וכיום הוא מופיע בחישובים רבים בכל תחומי המדע, וחובבי מתמטיקה רבים מתחרים ביניהם מי יזכור יותר ספרות אחרי הנקודה: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534

רמנג'ואן, יליד הודו (1887), היה נער עני שהגיע לקיימברידג' בגיל 26 ביוזמתם של המתמטיקאים הבריטים גודפרי הארדי וג'ון ליטלווד. תוך שנים ספורות הוא חלה, חזר להודו ומת בה בגיל 32. למרות גילו הצעיר הוא רשם בתקופה קצרה זו הישגים עצומים בעולם המתמטיקה.

אחת מיכולותיו הנדירות של רמנג'ואן הייתה בניסוח נוסחאות מתמטיות באופן אינטואיטיבי וללא הוכחה. לכן החליטו חוקרי הטכניון לקרוא לאלגוריתם שלהם "מכונת רמנג'ואן", שכן הוא מייצר השערות בלי להוכיחן, וזאת במעין חיקוי של אינטואיציה המבוסס על בינה מלאכותית וכוח מיחשוב גדול.

לדברי ד"ר קמינר, "התוצאות שלנו מרשימות כי למחשב לא אכפת אם ההוכחה קלה או קשה, והוא אינו משתית את התוצאות החדשות על שום ידע מוקדם במתמטיקה – רק על הספרות של קבועים מתמטיים. האלגוריתמים שלנו עובדים במידה רבה כמו רמנג'ואן עצמו, שהציג תוצאות ללא הוכחות. חשוב להדגיש כי האלגוריתם עצמו אינו מסוגל להוכיח את נכונותן של ההשערות – המשימה הזאת נותרת בשלב זה מלאכתם של מתמטיקאים בני אדם."

ההשערות שמחוללת מכונת רמנג'ואן הטכניונית סיפקו נוסחאות חדשות לקבועים מתמטיים מפורסמים כמו פאי, קבוע אוילר (e), קבוע אפרי (הקשור לפונקצית זטא של רימן) וקבוע קטלן. למרבה ההפתעה, האלגוריתמים שפיתחו חוקרי הטכניון הצליחו לייצר לא רק נוסחאות ידועות לקבועים המפורסמים אלא גם כמה השערות שלא היו ידועות עד כה. להערכת החוקרים, אלגוריתם זה יוכל להאיץ משמעותית את יצירתן של השערות מתמטיות על קבועים יסודיים ולעזור במציאת קשרים חדשים בין קבועים כאלו.

כאמור, השערות אלו היו מבוססת עד כה על גאונות נדירה – נדירה כל כך, שסך כל הנוסחאות לקבוע פאי שגילה גאוס "נסיך המתמטיקה" בכל עבודת חייו מתגלות על ידי מכונת רמנוג'אן הטכניונית תוך שעות ספורות של הרצת האלגוריתם, יחד עם עוד עשרות נוסחאות אחרות שגאוס לא הכיר.

לדברי ד"ר קמינר, "רעיונות דומים יוכלו להוביל בעתיד לפיתוח השערות מתמטיות בכל תחומי המתמטיקה, וכך לספק כלי מחקרי משמעותי למחקר מתמטי."

קבוצת המחקר השיקה את האתר RamanujanMachine.com, שנועד להגדיל את מעורבותו של הציבור בקידום המחקר המתמטי באמצעות השראה וכלים יישומיים שיהיו זמינים למתמטיקאים ולקהל הרחב. עוד לפני פרסום המאמר נרשמו לאתר מאות סטודנטים, מומחים ומתמטיקאים חובבים.

המחקר החל כפרויקט לסטודנטים בתואר ראשון בתוכנית רוטשילד-טכניון למצוינים, בהשתתפות של גל רעיוני וג'ורג' פישה, והמשיך במסגרת פרויקטי מחקר בפקולטה להנדסת חשמל ע"ש ויטרבי בהשתתפות שחר גוטליב, יואב האריס ודורון חביב. שם גם התרחשה פריצת הדרך המשמעותית – אלגוריתם שפיתח שחר גוטליב – אשר שיגרה את המאמר ל-NATURE.

ד"ר קמינר מוסיף שהתגלית המתמטית הכי מעניינת שהתגלתה עד כה על ידי האלגוריתמים של מכונת רמנוג'אן קשורה למבנה אלגברי חדש שמתחבא בתוך קבוע קטלן. מבנה זה התגלה על ידי יהל מנור, תלמידת כיתה י"ב שהשתתפה בפרויקט במסגרת תוכנית אלפא לתלמידים מצטיינים בטכניון. תוכנית אלפא (תוכנית למחקר בתחומים מדעיים), המופעלת במוסדות האקדמיים ברחבי הארץ, היא מיזם משותף של מרכז מדעני העתיד של קרן מיימונידיס ומשרד החינוך.

ד"ר קמינר מציין כי "במחקר השתתפו גם חברים מהתעשייה – אורי מנדלוביץ' וירון חדד, שתרמו רבות לקונספטים המתמטיים והאלגוריתמיים שבבסיס מכונת רמנוג'אן. חשוב לציין שהפרויקט כולו נערך בהתנדבות, לא מומן על ידי שום גורם, והמשתתפים הצטרפו אליו מתוך סקרנות מדעית טהורה."

ד"ר עדו קמינר הוא ראש המעבדה לדינמיקה קוונטית של אלומות אלקטרונים ע"ש רוברט ורות מגיד, חבר סגל בפקולטה להנדסת חשמל ע"ש ויטרבי ובמכון למצב מוצק וחבר במכון לננוטכנולוגיה ע"ש ראסל ברי (RBNI) ובמרכז הקוונטום ע"ש הלן דילר.

 

למאמר ב- Nature לחצו כאן