כדורים, תבניות ורצפים: המתמטיקה של הג'אגלינג

כתבה מיוחדת לכבוד יום הג'אגלינג העולמי, 18 ביוני

מאת אוליבר סרג'נט, הטכניון

הג'אגלר הישראלי אורי יורמן. צילום: שימי שיידר

הג'אגלר הישראלי אורי יורמן. צילום: שימי שיידר

הקישור בין מתמטיקה וג'אגלינג אינו מובן מאליו, ועם זאת, לשני התחומים האלה יש היסטוריה ארוכה; המתמטיקה נולדה ככל הנראה יחד עם המין האנושי עצמו, והאיזכורים הראשונים של עיסוק בג'אגלינג מקורם במצרים הקדומה.

אם נתאר את המתמטיקה כחקר התבניות, הרי שהג'אגלינג הוא אמנות המשתמשת בכוח הכבידה ליצירת תבניות באמצעות כדורים – או חפצים אחרים – הנעים באוויר. לכן אין זה פלא שבמרוצת השנים התפתחה תיאוריה מתמטית של ג'אגלינג. עם זאת, עיסוקם של מתמטיקאים רציניים בתבניות ג'אגלינג ובתיאורן האקסיומטי הוא תופעה חדשה למדי.

כדי להתחיל לדון בחקר הג'אגלינג מנקודת ראות מתמטית עלינו להבין קודם מהי תבנית בג'אגלינג (juggling pattern). לשם כך עלינו לדמיין פעימות קצובות, כאשר בכל פעימה נזרק באוויר כדור. כעת נוכל לקבוע כמה פעימות יחלפו מרגע שהכדור נזרק ועד שייתפס שוב (בעזרתו האדיבה של כוח הכבידה). נניח שהתבנית חייבת להיות מחזורית ואסור ששני כדורים ייזרקו או ינחתו יחד.

כעת נדמיין רצף אינסופי של פעימות כאלה, שכל אחת מהן קובעת גובה (או משך זמן) ספציפי. נתון זה יהיה מספר טבעי המתאר את הזמן שיידרש לכדור לנחות מרגע שנזרק. לדוגמה, אפשר לקבוע כי כדור שנזרק בפעימה הראשונה ינחת בפעימה הרביעית וכדור שנזרק בפעימה השלישית ינחת בשישית. במילים אחרות, כל כדור ינחת שלוש פעימות אחרי שנזרק. נקרא לכך "רצף 3", שפירושו שבכל פעימה נזרוק כדור שייזרק שוב כעבור שלוש פעימות. זוהי הגדרה מחזורית, וברור שכל עוד אנחנו מבצעים את התבנית האמורה בשלושה כדורים, לעולם לא יווצר מצב ששני כדורים ינחתו בעת ובעונה אחת.

התיאור המדויק של תנאים אלה קרוי בפי הג'אגלרים סייטסוואפ (siteswap) ובשפה המתמטית רצף (sequence). אפשר לתאר את ההגדרות האלה בסדרות ספרות סופית (\a_1…a_k\), שבהן כל חלק הוא 0 או מספר שלם הגדול מ-0. המילה 423, לדוגמה, פירושה שבפעימה הראשונה נזרוק כדור שייזרק בפעם הבאה בפעימה החמישית (הספרה 4 פלוס 1, שהוא מיקומה ברצף), בפעימה השנייה נזרוק כדור שייזרק שוב בפעימה הרביעית (2+2), בפעימה השלישית נזרוק כדור שיייזרק שוב בפעימה השישית (3+3), ואז נחזור על התבנית כך שכדור שנזרק בפעימה הרביעית ייזרק שוב בשמינית, וכן הלאה.

כאמור, המספר 0 לגיטימי בתבניות האלה ופירושו זריקה ריקה, המתרחשת בפעימה שבה לא נזרק כדור.

כל זה מעלה כמה תהיות. ראשית, אם לפנינו רצף סופי המורכב ממספרים טבעיים, כמה כדורים יידרשו לנו כדי לבצעו בג'אגלינג? מתברר כי התשובה לשאלה הזו פשוטה למדי: אם רצף מתמטי סופי תואם סייטסוואפ מסוים, הרי שממוצע הספרות ברצף שווה למספר הכדורים שיידרשו לנו. מכך נובע כי כדי שרצף יהיה "לגיטימי" בג'אגלינג, ממוצע הספרות שלו חייב להיות מספר שלם. עם זאת, זהו אינו תנאי מספיק לקיומה של תבנית בפועל, כפי שעולה למשל מן המספר 432. ממוצע הספרות כאן הוא אכן מספר שלם (3), אולם אם נבצע את התרגיל, שלושת הכדורים ינחתו בעת ובעונה אחת – בפעימה החמישית.

כדי לקבוע אם רצף הוא לגיטימי עומדת לרשותנו בדיקה המבחינה בין רצפים "אסורים" כמו 432 לרצפים לגיטימיים כגון 423. בדיקה זו נקראת "בוחן התמורה (the permutation test). תמורה פירושה סידור מחדש של עצמים בקבוצה. במילים אחרות, אם הקבוצה מורכבת מהמספרים הטבעיים 1 עד k, הרי שתמורה של k עצמים תהיה קבוצת המספרים 0 עד k-1, המוצגת בסדר כלשהו. בוחן התמורה קובע כי רצף יהיה לגיטימי בג'אגלינג אם, ורק אם, הרצף המתקבל באופן זה הוא תמורה של k עצמים. במילים אחרות, כל אחת מהספרות 0 עד k-1 מופיעה בה פעם אחת בדיוק.

שאלות נוספות עולות בהקשר הקומבינטורי, לדוגמה: כמה רצפים קיימים בהינתן מספר ספציפי של כדורים ומחזורים? מתברר כי התשובה לכך נמצאת גם היא בתחומים אחרים במתמטיקה. אפשר לתאר גם משפחות שונות של רצפי ג'אגלינג. לדוגמה, אפשר להתייחס לרצפים "ראשוניים" – כאלה שאי אפשר לפרק לרצפים קטנים יותר. לדוגמה, הרצף 423 הוא ראשוני, אולם הרצף 4233 אינו ראשוני שכן אפשר לפרק אותו לרצפים 423 ו-3. משפחה מעניינת נוספת של רצפי ג'אגלינג היא רצפים שכל תמורה שלהם היא לגיטימית בג'אגלינג. דוגמאות לכך הן 441, 900 ו-5551. עובדה מעניינת נוספת היא שלכל רצף נתון, ישנה לפחות תמורה אחת שאפשר לבצעה בג'אגלינג.

עד כה לא הזכרנו את תפקידן החשוב של הידיים בתבנית הג'אגלינג. למעשה, כל מה שתיארנו כאן אפשרי לביצוע בכל מספר ידיים שהוא. אפשר לדמיין שתי ידיים, שהשמאלית זורקת את הכדור בפעימות הזוגיות והימנית בפעימות האי זוגיות (כך נוהגים רוב הג'אגלרים); אולם אפשר גם לדמיין יד אחת בלבד, הזורקת כדור בכל פעימה. מנקודת המבט של ההתייחסות המתמטית הקיימת לג'אגלינג אין הבדל בין שתי הזריקות, אולם אפשר לפתח תיאוריה מורכבת יותר שתבחין בין האפשרויות. אפשר גם לוותר על העיקרון לפיו לא ייזרק (או ייתפס) יותר מכדור אחד בכל פעימה. במקרים כאלו נמצא אנלוגיות מורכבות יותר להתייחסות הפשוטה יחסית שתיארנו קודם, וכך נגיע לאפשרויות קומבינטוריות רבות ומעניינות.

ד"ר אוליבר סרג'נט, יליד אנגליה, השלים דוקטורט באוניברסיטת בריסטול, בריטניה. בספטמבר 2014 הוא הגיע לטכניון לטובת פוסט-דוקטורט הנמשך גם כיום, בהנחייתו של פרופ' אורי שפירא מהפקולטה למתמטיקה. לדבריו, "בקיץ שעבר הובלתי בטכניון פרויקט בנושא המתמטיקה של הג'אגלינג לסטודנטים בשנה הראשונה ללימודיהם במתמטיקה. יחד איתם פיתחתי דרכים חדשות לתיאור של משפחות ספציפיות של רצפי ג'אגלינג. אני עצמי מתאמן בג'אגלינג מזה כעשור ונהנה מאוד מהתחביב הזה, המחייב משמעת נפשית וגופנית."

בקישור: http://www.jug.co.il

תרגילים בסיסיים בג'אגלינג – האתר של תום אילון